בגרות 582 קיץ 2018 מועד ב׳ – פרבולה: משיקים מאונכיםהנדסה אנליטית 572 · שיעור 111

בגרות 582 · קיץ 2018 מועד ב׳ · שאלה 1

שיעור 111 – בגרות 582 קיץ 2018 מועד ב׳ – פרבולה: משיקים מאונכים

פרק 10 – פתרון בגרויות 582

1נוסח השאלה

2סעיף א – משוואת הפרבולה

3סעיף ב – הנקודות A ו־B

4סעיף ג – זוג נקודות נוסף

📄 נוסח השאלה

נתונה הפרבולה הקנונית y² = 2px . p > 0 הוא פרמטר. הנקודות A(x₁ , y₁) ו־B(x₂ , y₂) נמצאות על הפרבולה.

נתון: שיפוע הישר AB הוא 43 , שיעור ה־y של אמצע הקטע AB הוא 9.

א. מצאו את משוואת הפרבולה.

נתון: המשיקים לפרבולה דרך הנקודות A ו־B מאונכים זה לזה.

ב. מצאו את שיעורי הנקודות A ו־B . הנקודה A נמצאת ברביע הראשון.

📄 נוסח השאלה · המשך

ג. מצאו עוד זוג נקודות על הפרבולה שהמשיקים דרכן לפרבולה מאונכים זה לזה.

סעיף א – משוואת הפרבולה

אמצע הקטע בשיעור y = 9 :

y₁ + y₂2 = 9 ⇒ y₁ + y₂ = 18

📐 אמצע קטע

שתי הנקודות על הפרבולה, ולכן:

x₁ = y₁²2p , x₂ = y₂²2p

נכתוב את השיפוע ונציב את x₁ ו־x₂ :

m = y₁ − y₂x₁ − x₂

📐 שיפוע ישר לפי שתי נקודות

📐 אמצע קטע

x_M = x₁ + x₂2 , y_M = y₁ + y₂2

📐 שיפוע ישר לפי שתי נקודות

m = y₂ − y₁x₂ − x₁

סעיף א – משוואת הפרבולה · המשך

m = y₁ − y₂x₁ − x₂

📐 שיפוע ישר לפי שתי נקודות

m = y₁ − y₂y₁² − y₂²2p

במכנה הפרש ריבועים:

y₁² − y₂² = (y₁ − y₂)(y₁ + y₂)

📐 הפרש ריבועים

מצמצמים את (y₁ − y₂) :

m = 2py₁ + y₂

📐 שיפוע ישר לפי שתי נקודות

m = y₂ − y₁x₂ − x₁

📐 הפרש ריבועים

u² − v² = (u − v)(u + v)

סעיף א – משוואת הפרבולה · המשך

m = 2py₁ + y₂

נציב m = 43 ו־y₁ + y₂ = 18 :

2p18 = 43

6p = 72 ⇒ p = 12

y² = 24x

✅ פתרון סופי: y² = 24x

סעיף ב – הנקודות A ו־B

נכתוב את נוסחת המשיק לפרבולה:

y · y₀ = p(x + x₀)

📐 משוואת המשיק לפרבולה

נבודד את y כדי לקרוא את השיפוע:

y = py₀x + px₀y₀

עם p = 12 , שיפוע המשיק בנקודה (x₀ , y₀) הוא 12y₀ . המשיקים ב־A וב־B מאונכים:

12y₁ · 12y₂ = −1

📐 ישרים מאונכים

📐 משוואת המשיק לפרבולה

y · y₀ = p(x + x₀)

📐 ישרים מאונכים

m₁ · m₂ = −1

סעיף ב – הנקודות A ו־B · המשך

12y₁ · 12y₂ = −1

📐 ישרים מאונכים

y₁ · y₂ = −144

יחד עם y₁ + y₂ = 18 – שני מספרים שסכומם 18 ומכפלתם −144 הם הפתרונות של:

t² − 18t − 144 = 0

(t − 24)(t + 6) = 0 ⇒ t = 24 , t = −6

A ברביע הראשון, ולכן y₁ = 24 ו־y₂ = −6 . נמצא את x מ־x = y²24 :

📐 ישרים מאונכים

m₁ · m₂ = −1

סעיף ב – הנקודות A ו־B · המשך

A ברביע הראשון, ולכן y₁ = 24 ו־y₂ = −6 . נמצא את x מ־x = y²24 :

x₁ = 24²24 = 24

x₂ = (−6)²24 = 1.5

בדיקה של השיפוע: 24 − (−6)24 − 1.5 = 3022.5 = 43 ✓

בסקיצה: הפרבולה בכחול, המשיקים בירוק והקטע AB בסגול. שימו לב שהמשיקים נפגשים על המדריך x = −6 , והקטע AB עובר דרך המוקד F(6 , 0) .

✅ פתרון סופי: A(24 , 24) , B(1.5 , −6)

סעיף ג – זוג נקודות נוסף

לפי סעיף ב, המשיקים בשתי נקודות על הפרבולה מאונכים בדיוק כאשר מכפלת שיעורי ה־y שלהן היא −144 . נבחר למשל:

y₁ = 12 , y₂ = −12

x = 12²24 = 6

הנקודות (6 , 12) ו־(6 , −12) . שיפועי המשיקים:

1212 = 1 , 12−12 = −1

1 · (−1) = −1

📐 ישרים מאונכים

m₁ · m₂ = −1

סעיף ג – זוג נקודות נוסף · המשך

1 · (−1) = −1

📐 ישרים מאונכים

המשיקים מאונכים. כל זוג אחר שמכפלת שיעורי ה־y שלו היא −144 הוא גם תשובה נכונה.

✅ פתרון סופי: לדוגמה (6 , 12) , (6 , −12)

📐 ישרים מאונכים

m₁ · m₂ = −1

📌 סיכום התשובות

סעיף א

y² = 24x

סעיף ב

A(24 , 24) , B(1.5 , −6)

סעיף ג

לדוגמה (6 , ±12)

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא